1-1 \(20 \le \int_1^2 (2x^3 + 3ax^2 + bx)dx \le 30\)을 만족시키는 \(5\) 이하의 두 자연수 \(a, b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 구하시오. (30점)

1-2 그림과 같이 정사각형이 가로로 \(n\)개, 세로로 \(n\)개씩 놓여 있는 정사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 지점 \(A\)에서 출발하여 지점 \(B\)까지 최단 거리로 갈 때, 지점 \(A\)와 지점 \(B\)를 제외하고 이동 방향이 바뀌는 지점의 개수가 \(4\)인 경우의 수를 \(f(n)\), 이동 방향이 바뀌는 지점의 개수가 \(7\)인 경우의 수를 \(g(n)\)이라 하자. \(f(6)\)과 \(\sqrt{2 \times g(32)}\)의 값을 구하시오. (30점)

1-3 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(g(x)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 조건을 만족시키는 함수 \(f(x)\) 중 실수 \(a_4, a_5\)에 대하여 \(f(a_4) = f(a_5) = 0\) \((a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5)\)을 만족시키고, 닫힌구간 \([a_1, a_5]\)에서 극댓값을 갖지 않는 함수에 대하여 \(a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 3\)일 때 \(\int_{a_1}^{a_5} |f(x)|dx\)의 값을 구하시오. (40점)

2-1 자연수 \(n\)에 대하여, \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)일 때 두 곡선 \(y = \sin x\)와 \(y = \frac{n}{n+1}\tan x\)가 만나는 점을 \(P_n\)이라 하자. 점 \(P_n\)에서의 곡선 \(y = \sin x\)의 접선을 \(l_1\), 점 \(P_n\)에서의 곡선 \(y = \frac{n}{n+1}\tan x\)의 접선을 \(l_2\)라 하자. 두 직선 \(l_1, l_2\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\lim_{n \to \infty} n^2 S_n\)의 값을 구하시오. (30점)

2-2 점 \(F\)를 초점으로 하는 포물선 \(y^2 = 4px\) \((p>0)\) 위에 원점이 아닌 점 \(P(x_1, y_1)\)이 있다. 점 \(P\)에서 포물선에 접하는 직선이 직선 \(x = -p\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하고, 점 \(Q\)와 \(y\)좌표가 같은 포물선 위의 점을 \(P'\)이라 하자. 각 \(PFP'\)의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos\theta = \frac{1}{5}\)이다. \(x_1\)을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)

2-3 한 변의 길이가 \(4\)인 정육면체 \(ABCD-EFGH\)가 있다. 선분 \(FH\) 위의 한 점 \(P\)와 선분 \(FG\) 위의 한 점 \(Q\)에 대하여 선분 \(CP\)와 선분 \(DQ\)가 한 점 \(R\)에서 만나고, \(\overline{DR} : \overline{RQ} = 4 : 3\)이다. 평면 \(APC\)와 평면 \(EFGH\)가 이루는 각의 크기가 \(\theta\)일 때, \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\) (40점)